Упр.41 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом $$45^\circ$$ ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.

Обозначим через $$D$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$B$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BD \perp \alpha$$, а угол между гипотенузой $$AB$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен углу $$\angle BAD$$.

Так как $$\triangle ABC$$ — равнобедренный прямоугольный, то

$$AC=BC=a,$$

следовательно, гипотенуза

$$AB=a\sqrt{2}.$$

Поскольку плоскость $$\alpha$$ проведена через катет $$AC$$ и образует угол $$45^\circ$$ с катетом $$BC$$, то в прямоугольном треугольнике $$BCD$$ имеем

$$\angle BCD=45^\circ,$$

откуда

$$BD=BC\cdot \sin 45^\circ=a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$

$$\sin \angle BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{a/\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=\frac12.$$

Значит,

$$\angle BAD=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.