Упр.41 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 41. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.

Обозначим катеты равнобедренного прямоугольного треугольника через $$AC=BC=a$$. Тогда гипотенуза

$$AB=\frac{AC}{\cos 45^\circ}=\frac{a}{\cos 45^\circ}=a\sqrt{2}.$$

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BD$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$D$$ — проекция точки $$B$$ на плоскость, а угол между прямой $$AB$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен углу $$\angle BAD$$.

В прямоугольном треугольнике $$BCD$$ имеем $$\angle BCD=45^\circ$$, поэтому

$$BD=BC\cdot \sin 45^\circ=a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. Тогда

$$\sin \angle BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{a/\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle BAD=30^\circ.$$

Ответ

$$30^\circ$$