Упр.40 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

Построим сначала вспомогательный треугольник $$ABF$$ так, чтобы $$AB=a$$, $$AF=s$$ и $$\angle AFB=\frac{\alpha}{2}$$.

Для этого:

1. Построим отрезок $$AB=a$$.
2. Из точки $$A$$ проведём луч $$AF$$ и отложим на нём $$AF=s$$.
3. В точке $$F$$ построим луч, образующий с прямой $$FA$$ угол $$\frac{\alpha}{2}$$.
4. Проведём окружность с центром в точке $$A$$ радиуса $$a$$; точку пересечения этой окружности с построенным лучом обозначим через $$B$$.

Теперь восстановим серединный перпендикуляр к отрезку $$BF$$ и обозначим через $$C$$ точку его пересечения с отрезком $$AF$$.

Так как $$C$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$BF$$, то $$CB=CF$$. Следовательно, $$\triangle BCF$$ равнобедренный, а точка $$C$$ делит сторону $$AF$$ так, что

$$AC+CB=AC+CF=AF=s.$$

Кроме того, в равнобедренном треугольнике $$BCF$$

$$\angle FBC=\angle CFB=\frac{\alpha}{2},$$

значит

$$\angle BCF=180^\circ-\alpha.$$

Тогда

$$\angle ACB=180^\circ-\angle BCF=180^\circ-(180^\circ-\alpha)=\alpha.$$

Итак, треугольник $$ACB$$ имеет сторону $$AB=a$$, противолежащий ей угол $$\angle C=\alpha$$ и сумму двух других сторон

$$AC+CB=s.$$

Следовательно, построен искомый треугольник.