Упр.40 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны треугольника $$13\text{ см}$$, $$14\text{ см}$$ и $$15\text{ см}$$. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара $$5\text{ см}$$.

Пусть $$A,$$ $$B$$ и $$C$$ — точки касания шара со сторонами треугольника. Опустим из центра шара $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ на плоскость треугольника. Тогда точка $$O_1$$ — центр окружности, вписанной в треугольник.

Найдём радиус вписанной окружности треугольника со сторонами $$13$$ см, $$14$$ см и $$15$$ см.

Полупериметр:

$$p=\frac{13+14+15}{2}=21.$$

Площадь треугольника по формуле Герона:

$$S=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)} =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84.$$

Так как $$S=pr,$$ то радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем:

$$OA=5\text{ см}, \quad O_1A=4\text{ см}.$$

Тогда расстояние от центра шара до плоскости треугольника:

$$OO_1=\sqrt{OA^2-O_1A^2} =\sqrt{5^2-4^2} =\sqrt{25-16} =3\text{ см}.$$

Ответ: $$3$$ см.