Упр.40 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда сходящиеся в одной вершине, равны а, b, с. Найдите линейные размеры параллелепипеда (рис. 120).
Обозначим линейные размеры прямоугольного параллелепипеда так: $$A_1B_1=x,$$ $$B_1C_1=y,$$ $$C_1C=z.$$
Тогда по теореме Пифагора для трёх прямоугольных треугольников получаем:
$$c^2=x^2+y^2,$$
$$b^2=x^2+z^2,$$
$$a^2=y^2+z^2.$$
Сложим первые и третьи равенства и вычтем второе:
$$c^2+a^2-b^2=(x^2+y^2)+(y^2+z^2)-(x^2+z^2)=2y^2,$$
откуда
$$y=\sqrt{\frac{a^2+c^2-b^2}{2}}.$$
Аналогично:
$$a^2+b^2-c^2=(y^2+z^2)+(x^2+z^2)-(x^2+y^2)=2z^2,$$
значит
$$z=\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}.$$
И ещё:
$$b^2+c^2-a^2=(x^2+z^2)+(x^2+y^2)-(y^2+z^2)=2x^2,$$
следовательно
$$x=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}.$$
Итак, линейные размеры параллелепипеда равны:
$$A_1B_1=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}},\qquad B_1C_1=\sqrt{\frac{a^2+c^2-b^2}{2}},\qquad C_1C=\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}.$$
Ответ
$$\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}},\ \sqrt{\frac{a^2+c^2-b^2}{2}},\ \sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}.$$