Упр.40 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны $$a$$, $$b$$, $$c$$. Найдите линейные размеры параллелепипеда (рис. 120).

Обозначим линейные размеры прямоугольного параллелепипеда так: $$A_1B_1=x,\quad B_1C_1=y,\quad C_1C=z.$$

Тогда по теореме Пифагора для трёх прямоугольных треугольников получаем:

$$c^2=x^2+y^2,$$

$$b^2=x^2+z^2,$$

$$a^2=y^2+z^2.$$

Сложим первые и третьи равенства и вычтем второе:

$$c^2+a^2-b^2=(x^2+y^2)+(y^2+z^2)-(x^2+z^2)=2y^2,$$

откуда

$$y=\sqrt{\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}.$$

Аналогично:

$$a^2+b^2-c^2=(y^2+z^2)+(x^2+z^2)-(x^2+y^2)=2z^2,$$

следовательно,

$$z=\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}.$$

И, наконец,

$$b^2+c^2-a^2=(x^2+z^2)+(x^2+y^2)-(y^2+z^2)=2x^2,$$

откуда

$$x=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}.$$

Итак, линейные размеры параллелепипеда равны:

$$A_1B_1=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}},\quad B_1C_1=\sqrt{\frac{c^2+a^2-b^2}{2}},\quad C_1C=\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}.$$