Упр.40 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние $$a$$, проведены две наклонные под углом $$30^\circ$$ к плоскости, причём их проекции образуют угол $$120^\circ$$. Найдите расстояние между концами наклонных.

Подробный ответ

Опустим из точки $$D$$ перпендикуляр $$DA$$ на плоскость. Тогда $$DA=a$$, а отрезки $$AB$$ и $$AC$$ — проекции наклонных $$DB$$ и $$DC$$ на плоскость. Поэтому $$\angle BAC=120^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DAB$$ и $$DAC$$. Так как наклонные образуют с плоскостью угол $$30^\circ$$, то

$$\tan 30^\circ=\frac{DA}{AB}=\frac{DA}{AC}.$$

Отсюда

$$AB=AC=\frac{DA}{\tan 30^\circ}=\frac{a}{1/\sqrt{3}}=a\sqrt{3}.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный. Пусть $$K$$ — середина отрезка $$BC$$. Тогда $$AK$$ — медиана и высота, поэтому $$BK=\dfrac{BC}{2}$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABK$$ угол $$\angle BAK=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ$$, но удобнее найти $$BK$$ через треугольник $$ABC$$. По формуле для половины основания в равнобедренном треугольнике:

$$BK=AB\sin 60^\circ=a\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}.$$

Тогда

$$BC=2BK=2\cdot \frac{3a}{2}=3a.$$

Ответ: $$3a$$.