Упр.40 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости.

Пусть $$M$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Проведём к плоскости $$\alpha$$ перпендикуляры $$CC_1$$ и $$MM_1$$. Тогда $$CC_1 = a$$, а также $$CC_1 \parallel MM_1$$, так как перпендикуляры к одной и той же плоскости параллельны.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OAD$$ и $$\triangle OCB$$. Они подобны, так как имеют общий угол при вершине $$A$$ и соответствующие стороны параллельны. Отсюда

$$\frac{AM}{AC}=\frac{MM_1}{CC_1}.$$

Но диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит

$$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$MM_1=\frac{1}{2}\cdot CC_1=\frac{1}{2}a.$$

Ответ

$$\frac{a}{2}$$