Упр.40 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии $$a$$ от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости.

Пусть $$M$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Проведём к плоскости $$\alpha$$ перпендикуляры $$CC_1$$ и $$MM_1$$. Тогда $$CC_1=a$$, а также $$CC_1 \parallel MM_1$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OAD$$ и $$\triangle OCB$$. У них общий угол при вершине $$A$$, а соответствующие стороны лежат на параллельных прямых, поэтому эти треугольники подобны. Отсюда

$$\frac{AM}{AC}=\frac{MM_1}{CC_1}.$$

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то

$$\frac{AM}{AC}=\frac12.$$

Следовательно,

$$MM_1=\frac12\cdot CC_1=\frac12a.$$

Ответ: $$\frac{a}{2}$$.