Упр.4 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объёмов цилиндров.

Высоты обоих цилиндров одинаковы, поэтому отношение их объёмов равно отношению площадей оснований:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi R^2h}{\pi r^2h}=\frac{R^2}{r^2}.$$

В основании большого цилиндра лежит окружность, описанная около правильного треугольника, а в основании малого цилиндра — окружность, вписанная в этот треугольник.

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a$$. Тогда

$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}, \qquad r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Следовательно,

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{R^2}{r^2}=\left(\frac{a\sqrt{3}/3}{a\sqrt{3}/6}\right)^2=\left(\frac{6}{3}\right)^2=4.$$

Ответ: $$4:1$$.