Упр.4 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- У трехгранного угла два плоских угла острые и равны $$\alpha$$, а третий угол равен $$\gamma$$. Найдите двугранные углы $$\varphi$$, противолежащие плоским углам $$\alpha$$, и угол $$\beta$$ между плоскостью $$\gamma$$ и противолежащим ребром.
Пусть из вершины трёхгранного угла на ребро, противолежащее углу $$\gamma,$$ опущен перпендикуляр $$AK$$ к плоскости этого угла. Из точки $$A$$ опустим также перпендикуляры $$AB$$ и $$AC$$ на два других ребра.
По теореме о трёх перпендикулярах имеем $$BK\perp SB$$ и $$CK\perp SC.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKB$$ и $$AKC.$$ У них общий катет $$AK,$$ а $$\angle AKB=\angle AKC=\varphi,$$ поэтому $$BK=KC.$$
Тогда прямоугольные треугольники $$BKS$$ и $$CKS$$ равны по двум катетам: $$BK=KC$$ и $$KS$$ — общий. Следовательно, $$\angle BKS=\angle CKS.$$
Но $$\angle BCS=\angle KSC+\angle KSC=\gamma,$$ значит
$$\angle KSC=\angle KCS=\frac{\gamma}{2}.$$
Из прямоугольного треугольника $$ASC$$ получаем
$$SC=SB=AS\cos\alpha,\qquad AB=AC=AS\sin\alpha.$$
В прямоугольном треугольнике $$SCK$$:
$$KC=SC\cdot\tg\frac{\gamma}{2}=AS\cos\alpha\cdot\tg\frac{\gamma}{2},$$
$$SK=\frac{SC}{\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{AS\cos\alpha}{\cos\frac{\gamma}{2}}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$ACK$$:
$$\cos\varphi=\cos\angle ACK=\frac{KC}{AC}=\frac{AS\cos\alpha\cdot\tg\frac{\gamma}{2}}{AS\sin\alpha}=\frac{\tg\frac{\gamma}{2}}{\tg\alpha}.$$
И в прямоугольном треугольнике $$ASK$$:
$$\cos\beta=\cos\angle ASK=\frac{SK}{AS}=\frac{AS\cos\alpha}{AS\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\gamma}{2}}.$$
Ответ: $$\cos\varphi=\frac{\tg\frac{\gamma}{2}}{\tg\alpha},\qquad \cos\beta=\frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\gamma}{2}}.$$
