Упр.4 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны четырехугольника $$ABCD$$ и прямоугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ соответственно параллельны. Докажите, что $$ABCD$$ — прямоугольник.

Так как $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник, то

$$A_1B_1 \perp B_1C_1,\quad B_1C_1 \perp C_1D_1,\quad C_1D_1 \perp D_1A_1,\quad D_1A_1 \perp A_1B_1.$$

По условию стороны четырёхугольника $$ABCD$$ соответственно параллельны сторонам прямоугольника $$A_1B_1C_1D_1$$, значит

$$AB \parallel A_1B_1,\quad BC \parallel B_1C_1,\quad CD \parallel C_1D_1,\quad DA \parallel D_1A_1.$$

Тогда из перпендикулярности параллельных прямых получаем:

$$AB \perp BC,\quad BC \perp CD,\quad CD \perp DA,\quad DA \perp AB.$$

Следовательно, все углы четырёхугольника $$ABCD$$ прямые. Значит, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Ответ: $$ABCD$$ — прямоугольник.