Упр.4 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения (рис. 10).

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a$$, а плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ — по прямой $$b$$. По условию прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$M$$.

Тогда точка $$M$$ принадлежит прямой $$a$$, значит, она лежит в плоскостях $$\alpha$$ и $$\beta$$. Аналогично, точка $$M$$ принадлежит прямой $$b$$, значит, она лежит в плоскостях $$\beta$$ и $$\gamma$$. Следовательно, точка $$M$$ является общей точкой плоскостей $$\alpha$$ и $$\gamma$$.

Но две различные плоскости пересекаются по прямой. Значит, прямая пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\gamma$$ проходит через их общую точку $$M$$.

Что и требовалось доказать.