Упр.4 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Три попарно пересекающиеся плоскости;
Доказать: Если две прямые пересечения плоскостей пересекаются, то
третья прямая проходит через точку их пересечения;
Доказательство:
1) Пусть плоскости пересекаются по прямой a, а плоскости ? и ?
пересекаются по прямой b;
2) По условию задачи, прямые a и b пересекаются в точке M;
3) Таким образом плоскости имеют общую точку M и плоскости
? и ? имеют общую точку M, следовательно M общая точка, тогда
по аксиоме C_2: прямая, по которой пересекаются плоскости,
проходит через точку M, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a$$, а плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекаются по прямой $$b$$.

По условию прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$M$$.

Тогда точка $$M$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$, так как $$M \in a \subset \alpha$$, и принадлежит плоскости $$\gamma$$, так как $$M \in b \subset \gamma$$. Значит, плоскости $$\alpha$$ и $$\gamma$$ имеют общую точку $$M$$.

По аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют общую точку, то их линия пересечения проходит через эту точку. Следовательно, прямая пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\gamma$$ проходит через точку $$M$$.