Упр.4 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 4. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если: 1) а = 15, b = 24, с = 18; 2) а = 23, b = 17, с = 39; 3) а = 55, b = 21, с = 38.

Найдём углы треугольника по теореме косинусов:

$$ \cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\qquad \cos \beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\qquad \gamma=180^\circ-\alpha-\beta. $$

1) $$a=15,\ b=24,\ c=18.$$

$$ \cos \alpha=\frac{24^2+18^2-15^2}{2\cdot 24\cdot 18} =\frac{675}{864}\approx 0{,}7812, $$
откуда $$\alpha \approx 39^\circ.$$

$$ \cos \beta=\frac{15^2+18^2-24^2}{2\cdot 15\cdot 18} =\frac{-27}{540}=-0{,}05, $$
откуда $$\beta \approx 93^\circ.$$

$$ \gamma=180^\circ-39^\circ-93^\circ\approx 48^\circ. $$

2) $$a=23,\ b=17,\ c=39.$$

$$ \cos \alpha=\frac{17^2+39^2-23^2}{2\cdot 17\cdot 39} =\frac{1281}{1326}\approx 0{,}966, $$
откуда $$\alpha \approx 15^\circ.$$

$$ \cos \beta=\frac{23^2+39^2-17^2}{2\cdot 23\cdot 39} =\frac{1761}{1794}\approx 0{,}9816, $$
откуда $$\beta \approx 11^\circ.$$

$$ \gamma=180^\circ-15^\circ-11^\circ\approx 154^\circ. $$

3) $$a=55,\ b=21,\ c=38.$$

$$ \cos \alpha=\frac{21^2+38^2-55^2}{2\cdot 21\cdot 38} =\frac{-1140}{1596}\approx -0{,}7142, $$
откуда $$\alpha \approx 136^\circ.$$

$$ \cos \beta=\frac{55^2+38^2-21^2}{2\cdot 55\cdot 38} =\frac{4028}{4180}\approx 0{,}9636, $$
откуда $$\beta \approx 15^\circ.$$

$$ \gamma=180^\circ-136^\circ-15^\circ\approx 29^\circ. $$

Ответ

$$ 1)\ \alpha \approx 39^\circ,\ \beta \approx 93^\circ,\ \gamma \approx 48^\circ; $$
$$ 2)\ \alpha \approx 15^\circ,\ \beta \approx 11^\circ,\ \gamma \approx 154^\circ; $$
$$ 3)\ \alpha \approx 136^\circ,\ \beta \approx 15^\circ,\ \gamma \approx 29^\circ. $$