Упр.4 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если: 1) $$a=15$$, $$b=24$$, $$c=18$$; 2) $$a=23$$, $$b=17$$, $$c=39$$; 3) $$a=55$$, $$b=21$$, $$c=38$$.

Найдём углы треугольника по теореме косинусов:

$$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\qquad \cos \beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\qquad \gamma=180^\circ-\alpha-\beta.$$

1. $$a=15,\; b=24,\; c=18.$$

   $$\cos \alpha=\frac{24^2+18^2-15^2}{2\cdot 24\cdot 18}=\frac{675}{864}\approx 0{,}7812,$$
   откуда $$\alpha \approx 39^\circ.$$

   $$\cos \beta=\frac{15^2+18^2-24^2}{2\cdot 15\cdot 18}=\frac{-27}{540}=-0{,}05,$$
   откуда $$\beta \approx 93^\circ.$$

   $$\gamma=180^\circ-39^\circ-93^\circ\approx 48^\circ.$$

2. $$a=23,\; b=17,\; c=39.$$

   $$\cos \alpha=\frac{17^2+39^2-23^2}{2\cdot 17\cdot 39}=\frac{1281}{1326}\approx 0{,}966,$$
   откуда $$\alpha \approx 15^\circ.$$

   $$\cos \beta=\frac{23^2+39^2-17^2}{2\cdot 23\cdot 39}=\frac{1761}{1794}\approx 0{,}9816,$$
   откуда $$\beta \approx 11^\circ.$$

   $$\gamma=180^\circ-15^\circ-11^\circ\approx 154^\circ.$$

3. $$a=55,\; b=21,\; c=38.$$

   $$\cos \alpha=\frac{21^2+38^2-55^2}{2\cdot 21\cdot 38}=\frac{-1140}{1596}\approx -0{,}7142,$$
   откуда $$\alpha \approx 136^\circ.$$

   $$\cos \beta=\frac{55^2+38^2-21^2}{2\cdot 55\cdot 38}=\frac{4028}{4180}\approx 0{,}9636,$$
   откуда $$\beta \approx 15^\circ.$$

   $$\gamma=180^\circ-136^\circ-15^\circ\approx 29^\circ.$$

Ответ: 1) $$\alpha \approx 39^\circ,\ \beta \approx 93^\circ,\ \gamma \approx 48^\circ$$; 2) $$\alpha \approx 15^\circ,\ \beta \approx 11^\circ,\ \gamma \approx 154^\circ$$; 3) $$\alpha \approx 136^\circ,\ \beta \approx 15^\circ,\ \gamma \approx 29^\circ$$.