Упр.39 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, опущенной из вершины этого угла.

Подробный ответ

Пусть дана сторона $$AB=a$$, противолежащий ей угол $$\alpha$$ и высота $$h$$, опущенная из вершины этого угла.

1) Построим отрезок $$AB=a$$ и прямую $$b \parallel AB$$ на расстоянии $$h$$ от прямой $$AB$$. Тогда вершина $$C$$ искомого треугольника должна лежать на прямой $$b$$.

2) Из точки $$A$$ построим луч $$AD$$ так, чтобы $$\angle DAB=\alpha$$, причём луч $$AD$$ расположен по другую сторону от прямой $$AB$$ относительно прямой $$b$$.

3) Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ и перпендикуляр к прямой $$AD$$ в точке $$A$$. Их пересечение обозначим через $$O$$.

4) Построим окружность с центром $$O$$ и радиусом $$R=OA=OB$$. Тогда прямая $$AD$$ будет касательной к этой окружности в точке $$A$$, а дуга $$AB$$ этой окружности соответствует центральному углу $$\angle AOB=2\alpha$$.

5) Точку $$C$$ возьмём как точку пересечения построенной окружности с прямой $$b$$. Тогда $$\angle ACB$$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $$AB$$, поэтому

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\alpha.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ имеет сторону $$AB=a$$, угол при вершине $$C$$ равен $$\alpha$$, а высота из этой вершины равна $$h$$. Значит, построение выполнено.