Упр.39 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Проведём высоту пирамиды $$SO$$ к основанию. Так как все боковые рёбра равны, то вершина $$S$$ равноудалена от всех вершин прямоугольника $$ABCD$$, значит точка $$O$$ — центр описанной окружности около основания, то есть середина диагоналей.

Найдём диагональ прямоугольника:

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$$

Тогда

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{15}{2}=7{,}5$$

Площадь основания:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=12\cdot 9=108$$

В прямоугольном треугольнике $$ASO$$:

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{12{,}5^2-7{,}5^2}=\sqrt{156{,}25-56{,}25}=\sqrt{100}=10$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 108\cdot 10=360$$