Упр.39 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Пусть $$A$$, $$B$$ и $$C$$ — точки касания шара со сторонами правильного треугольника. Опустим из центра шара $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ на плоскость треугольника. Тогда точка $$O_1$$ — центр окружности, вписанной в треугольник.

Для правильного треугольника со стороной $$a$$ радиус вписанной окружности равен

$$O_1A=r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем

$$OO_1=\sqrt{OA^2-O_1A^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2}=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{12}}.$$

Следовательно, расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно

$$\sqrt{R^2-\frac{a^2}{12}}.$$

Ответ

$$\sqrt{R^2-\frac{a^2}{12}}$$