Упр.39 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Шар радиуса $$R$$ касается всех сторон правильного треугольника со стороной $$a$$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Пусть $$A$$, $$B$$ и $$C$$ — точки касания шара со сторонами правильного треугольника.

Опустим из центра шара $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ на плоскость треугольника. Тогда точка $$O_1$$ — центр окружности, вписанной в правильный треугольник.

Радиус вписанной окружности правильного треугольника со стороной $$a$$ равен

$$O_1A=r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем

$$OO_1=\sqrt{OA^2-O_1A^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{12}}.$$

Ответ: $$\sqrt{R^2-\frac{a^2}{12}}$$.