Упр.39 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения М.

Пусть $$AB=a$$ и $$AD=b$$. Тогда основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник, поэтому его площадь

$$Q=ab.$$

Диагональное сечение — прямоугольник со сторонами $$BD$$ и $$h$$, значит

$$M=BD\cdot h,$$

откуда

$$BD=\frac{M}{h}.$$

С другой стороны, в прямоугольнике $$ABD$$ диагональ

$$BD=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Тогда

$$a^2+b^2=\frac{M^2}{h^2}.$$

Используем тождество

$$\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab.$$

Подставляя $$ab=Q$$, получаем

$$\left(a+b\right)^2=\frac{M^2}{h^2}+2Q,$$

значит

$$a+b=\sqrt{\frac{M^2}{h^2}+2Q}.$$

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда равна

$$S=2ah+2bh=2h(a+b).$$

Тогда

$$S=2h\sqrt{\frac{M^2}{h^2}+2Q}=2\sqrt{M^2+2Qh^2}.$$

Ответ

$$2\sqrt{M^2+2Qh^2}$$