Упр.39 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 5-39. Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота $$h$$, площадь основания $$Q$$, а площадь диагонального сечения $$M$$.

Пусть $$AB=a$$ и $$AD=b$$. Тогда основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник, поэтому его диагональ

$$BD=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Площадь основания равна

$$Q=ab.$$

Диагональное сечение — прямоугольник со сторонами $$BD$$ и $$h$$, значит

$$M=BD\cdot h,$$

откуда

$$BD=\frac{M}{h}.$$

Тогда

$$\frac{M^2}{h^2}=a^2+b^2.$$

Сложим это равенство с $$2Q=2ab$$:

$$\frac{M^2}{h^2}+2Q=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2.$$

Следовательно,

$$a+b=\sqrt{\frac{M^2}{h^2}+2Q}.$$

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда равна

$$S_{\text{бок}}=2(a+b)h.$$

Подставим найденное выражение:

$$S_{\text{бок}}=2h\sqrt{\frac{M^2}{h^2}+2Q}=2\sqrt{M^2+2Qh^2}.$$

Ответ: $$2\sqrt{M^2+2Qh^2}.$$