Упр.39 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого основания на расстояние $$a$$. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как $$m:n$$ (рис. 64).

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей трапеции $$ABCD$$, а $$B_1$$ и $$O_1$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$B$$ и $$O$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1=a$$, а искомое расстояние равно $$OO_1$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то треугольники $$\triangle AOD$$ и $$\triangle COB$$ подобны: $$\angle AOD=\angle BOC$$ как вертикальные, а углы при параллельных прямых равны. Поэтому

$$\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{m}{n}.$$

Отсюда

$$\frac{OD}{BD}=\frac{OD}{OD+OB}=\frac{m}{m+n}.$$

Рассмотрим треугольник $$BB_1D$$. Прямые $$BB_1$$ и $$OO_1$$ лежат в одной плоскости, параллельны друг другу, значит, треугольники $$\triangle DO_1O$$ и $$\triangle BB_1D$$ подобны. Тогда

$$\frac{OO_1}{BB_1}=\frac{OD}{BD}=\frac{m}{m+n}.$$

Подставляя $$BB_1=a$$, получаем

$$OO_1=\frac{a m}{m+n}.$$

Ответ: $$\frac{am}{m+n}$$.