Упр.38 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 9-38. Докажите, что если из точки $$S$$, расположенной вне данной окружности, проведено несколько секущих, то произведение отрезков любой из этих секущих с концом в точке $$S$$ одинаково для всех секущих.

Проведём из точки $$S$$ касательную $$SA$$ к окружности и две секущие $$SA_1B_1$$ и $$SA_2B_2$$, проходящие через точку $$S$$.

По теореме о касательной и секущей имеем:

$$SA^2=SA_1\cdot SB_1$$

и

$$SA^2=SA_2\cdot SB_2.$$

Следовательно,

$$SA_1\cdot SB_1=SA_2\cdot SB_2=SA^2.$$

Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то отрезок $$SA$$ один и тот же для всех секущих, проведённых через точку $$S$$. Значит, произведение отрезков любой такой секущей с концом в точке $$S$$ одинаково для всех секущих, что и требовалось доказать.