Упр.38 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

По ребру $$a$$ октаэдра найдите его объём.

Октаэдр состоит из двух равных правильных пирамид с общим основанием $$ABCD$$ — квадратом.

Тогда площадь основания равна

$$S_{ABCD}=a^2.$$

Проведём перпендикуляр $$SO$$ к основанию. Точка $$O$$ — центр квадрата, значит

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ASO$$ имеем

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Теперь найдём объём октаэдра:

$$V=2\cdot \frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\frac{2}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.$$

Ответ: $$\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$$.