Упр.38 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности (рис. 163).

Подробный ответ

Пусть радиусы внешней и внутренней шаровых поверхностей равны $$R_1$$ и $$R_2$$ соответственно, а их центры совпадают в точке $$O$$. Рассмотрим плоскость, проходящую через центр шара, и плоскость, касательную к внутренней шаровой поверхности.

Обозначим через $$O_1$$ центр сечения, полученного касательной плоскостью, и возьмём точку $$A$$ на окружности этого сечения. Тогда $$OO_1 \perp O_1A$$, $$OA=R_1$$, $$OO_1=R_2$$.

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ по теореме Пифагора получаем:

$$ O_1A^2=OA^2-OO_1^2=R_1^2-R_2^2. $$

Следовательно, площадь сечения, касательного к внутренней шаровой поверхности, равна

$$ S_2=\pi O_1A^2=\pi(R_1^2-R_2^2). $$

Теперь рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Оно представляет собой кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$:

$$ S_1=\pi R_1^2-\pi R_2^2=\pi(R_1^2-R_2^2). $$

Итак,

$$ S_1=S_2. $$

Значит, сечение полого шара плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.