Упр.38 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности (рис. 163).

Подробный ответ

Пусть радиусы шаровых поверхностей равны $$R_1$$ и $$R_2$$, а их центры — $$O$$ и $$O_1$$ соответственно. Обозначим через $$A$$ точку касания плоскости с внутренней шаровой поверхностью.

Так как плоскость касается внутренней сферы, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, $$O_1A \perp OO_1$$, а значит, треугольник $$OO_1A$$ прямоугольный. При этом $$OA=R_1$$ и $$OO_1=R_2$$.

Тогда

$$O_1A^2=OA^2-OO_1^2=R_1^2-R_2^2.$$

Площадь сечения, касательного к внутренней шаровой поверхности, равна площади круга радиуса $$O_1A$$:

$$S_2=\pi O_1A^2=\pi(R_1^2-R_2^2).$$

Теперь рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центр полого шара. Оно даёт кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$:

$$S_1=\pi R_1^2-\pi R_2^2=\pi(R_1^2-R_2^2).$$

Итак,

$$S_1=S_2.$$

Следовательно, сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.

Ответ: $$S_1=S_2=\pi(R_1^2-R_2^2)$$.