Упр.38 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние $$a$$, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы $$45^\circ$$ и $$30^\circ$$, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных.

Опустим из точки $$D$$ перпендикуляр $$DA$$ на плоскость. Тогда $$DA=a$$, а отрезки $$AB$$ и $$AC$$ — проекции наклонных $$DB$$ и $$DC$$ на плоскость.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DAB$$ и $$DAC$$:

$$DB=\frac{DA}{\sin 30^\circ}=\frac{a}{1/2}=2a,$$
$$DC=\frac{DA}{\sin 45^\circ}=\frac{a}{\sqrt2/2}=a\sqrt2.$$

Так как наклонные $$DB$$ и $$DC$$ перпендикулярны, то треугольник $$DBC$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора

$$BC=\sqrt{DB^2+DC^2} =\sqrt{(2a)^2+(a\sqrt2)^2} =\sqrt{4a^2+2a^2} =\sqrt{6a^2} =a\sqrt6.$$

Ответ: $$a\sqrt6$$.