Упр.37 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки $$C$$ проведена касательная к окружности, отрезок $$CD$$ которой с концом в точке касания $$D$$ равен $$a$$, и секущая $$CB$$. Найдите длину секущей, если отношение внешней её части к внутренней равно $$m:n$$.

Пусть $$CB=x.$$ Тогда из условия $$CE:EB=m:n$$ получаем

$$CE=\frac{m}{m+n}\,CB=\frac{m}{m+n}x.$$

По теореме о касательной и секущей:

$$CD^2=CE\cdot CB.$$

Так как $$CD=a,$$ то

$$a^2=\frac{m}{m+n}x^2.$$

Отсюда

$$x^2=a^2\frac{m+n}{m},$$

$$x=a\sqrt{\frac{m+n}{m}}=a\sqrt{1+\frac{n}{m}}.$$

Ответ: $$a\sqrt{1+\frac{n}{m}}$$.