Упр.37 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

37. Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность тела.

Рассмотрим осевое сечение шара. Тогда $$OB=R=10\text{ см}.$$

Диаметр отверстия равен $$12\text{ см},$$ значит его радиус

$$BM=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BMO$$ найдем

$$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ см}.$$

Высота цилиндрического отверстия равна

$$BD=2OM=16\text{ см}.$$

Полная поверхность тела состоит из боковой поверхности цилиндрического отверстия и двух шаровых поясов, оставшихся после сверления. Их площадь равна

$$S=2\pi\cdot BM\cdot BD+4\pi OB^2-2\cdot 2\pi\cdot OB\cdot MK,$$

где

$$MK=OK-OM=10-8=2\text{ см}.$$

Тогда

$$S=2\pi\cdot 6\cdot 16+4\pi\cdot 10^2-2\cdot 2\pi\cdot 10\cdot 2 =192\pi+400\pi-80\pi=512\pi\text{ см}^2.$$

Ответ: $$512\pi\text{ см}^2.$$