Упр.37 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 37. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.

Проведём высоту $$SO$$ правильного тетраэдра к основанию $$ABC$$. Тогда точка $$O$$ — центр описанной около треугольника $$ABC$$ окружности.

Основание тетраэдра — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, значит его площадь равна

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности

$$AO=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ASO$$ имеем

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Теперь найдём объём тетраэдра:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$$

Ответ

$$\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$$