Упр.37 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

По ребру $$a$$ правильного тетраэдра найдите его объём.

Проведём из вершины тетраэдра перпендикуляр $$SO$$ к плоскости основания $$ABC$$. Тогда точка $$O$$ — центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности.

Основание правильного тетраэдра — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, поэтому

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен

$$AO=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ASO$$:

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Теперь найдём объём тетраэдра:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$$

Ответ: $$\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$$.