Упр.37 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан шар радиуса $$R$$. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая — касательная к шару, вторая — под углом $$30^\circ$$ к первой. Найдите площадь сечения.

Подробный ответ

Пусть $$O_1$$ — центр сечения. Тогда $$OO_1 \perp O_1A$$, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Проведём в касательной плоскости прямую $$AB$$. Тогда угол между плоскостями равен углу между прямой $$AB$$ и линией $$O_1A$$, то есть $$\angle O_1AB=30^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOO_1$$. Так как $$\angle O_1AO=90^\circ-30^\circ=60^\circ$$, то

$$AO_1=AO\cdot \cos 60^\circ=R\cdot \frac12=\frac{R}{2}.$$

Сечение — окружность радиуса $$AO_1$$, поэтому её площадь равна

$$S=\pi AO_1^2=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{\pi R^2}{4}.$$

Ответ: $$\frac{\pi R^2}{4}$$.