Упр.37 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-37. Решите предыдущую задачу, считая, что отрезок $$AB$$ пересекает плоскость.

Проведём перпендикуляры $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$MM_1$$ к плоскости $$\alpha$$. По теореме о параллельных прямых они параллельны.

Так как $$A_1B_1$$ — параллельная проекция отрезка $$AB$$ на плоскость $$\alpha$$, то

$$\frac{A_1M_1}{M_1B_1}=\frac{AM}{MB}=1,$$

следовательно, точка $$M_1$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$.

Рассмотрим треугольники $$BAA_1$$ и $$ABB_1$$. Если обозначить через $$C$$ середину отрезка $$AB_1$$, то в треугольнике $$BAB_1$$ отрезок $$MC$$ является средней линией, поэтому

$$MC=\frac{1}{2}BB_1.$$

Аналогично в треугольнике $$AA_1B_1$$ отрезок $$M_1C$$ — средняя линия, значит

$$M_1C=\frac{1}{2}AA_1.$$

Тогда расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$\alpha$$ равно

$$MM_1=\left|MC-M_1C\right|=\frac{1}{2}\left|BB_1-AA_1\right|.$$

Теперь подставим данные.

а) $$MM_1=\frac{1}{2}\left|5{,}3-3{,}2\right|=\frac{1}{2}\cdot 2{,}1=1{,}05\text{ см}.$$

б) $$MM_1=\frac{1}{2}\left|7{,}4-6{,}1\right|=\frac{1}{2}\cdot 1{,}3=0{,}65\text{ см}.$$

в) $$MM_1=\frac{1}{2}\left|b-a\right|.$$

Ответ

а) $$1{,}05\text{ см}$$; б) $$0{,}65\text{ см}$$; в) $$\frac{1}{2}\left|b-a\right|$$.