Упр.36 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дано: Точка S-лежит внутри окружности;
Доказать: Если через точку S проведено больше двух хорд то
произведение отрезков любой из хорд одинаково для всех хорд;
Доказательство:
1) Проведем диаметр окружности MN и хорды A_1 B_1, A_2 B_2, A_3 B_3, про-
ходящие через точку S;
2) По теореме 9.11 произведение отрезков хорд равно произведению
отрезков диаметра: B_1 S•SA_1=A_2 S•SB_2=NS•SM,
3) Так как через одну точку, лежащую внутри круга можно провести
только один диаметр, то NS•SM=const, следовательно, если через
точку S проведено больше двух хорд то произведение отрезков любой
из хорд одинаково для всех хорд, что и требовалось доказать.

Проведём через точку $$S$$ диаметр окружности $$MN$$ и несколько хорд $$A_1B_1$$, $$A_2B_2$$, $$A_3B_3$$, проходящих через точку $$S$$.

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд имеем:

$$SA_1 \cdot SB_1 = SM \cdot SN,$$

$$SA_2 \cdot SB_2 = SM \cdot SN,$$

$$SA_3 \cdot SB_3 = SM \cdot SN.$$

Так как через одну точку внутри окружности можно провести только один диаметр, то величина $$SM \cdot SN$$ для всех таких хорд одна и та же. Следовательно, произведение отрезков любой хорды, проходящей через точку $$S$$, одинаково для всех хорд:

$$SA_1 \cdot SB_1 = SA_2 \cdot SB_2 = SA_3 \cdot SB_3 = \dots$$

Что и требовалось доказать.