Упр.36 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

9-36. Докажите, что если через точку S, расположенную внутри окружности, проведено больше двух хорд, то произведение отрезков любой из хорд одинаково для всех хорд.

Проведём через точку $$S$$ диаметр $$MN$$ и любые хорды $$A_1B_1,\ A_2B_2,\ A_3B_3,$$ проходящие через точку $$S$$.

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд имеем:

$$SA_1\cdot SB_1=SA_2\cdot SB_2=SA_3\cdot SB_3=SM\cdot SN.$$

Но через одну точку внутри окружности можно провести только один диаметр, значит $$SM\cdot SN$$ — одно и то же число для всех таких хорд. Следовательно, произведение отрезков любой хорды, проходящей через точку $$S$$, одинаково для всех хорд.