Упр.36 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см (рис. 190)?

Подробный ответ

Рассмотрим диаметральное сечение шара плоскостью, проходящей через точку $$A$$, удалённую от центра $$O$$ на расстояние $$25$$ см. В этом сечении получаем окружность радиуса $$R=15$$ см.

Проведём из точки $$A$$ касательные $$AB$$ и $$AB_1$$ к окружности. Тогда $$BB_1$$ — диаметр круга основания видимого шарового сегмента, а точка $$O_1$$ — центр этого круга.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $$OB \perp AB$$. Следовательно, треугольник $$OBA$$ прямоугольный.

Из подобия и свойств прямоугольного треугольника получаем:

$$OB^2=OA\cdot OO_1$$

$$OO_1=\frac{OB^2}{OA}=\frac{15^2}{25}=9\text{ см}$$

Высота шарового сегмента равна

$$H=OC-OO_1=15-9=6\text{ см}$$

Площадь видимой части поверхности шара:

$$S=2\pi RH=2\pi\cdot 15\cdot 6=180\pi\text{ см}^2$$