Упр.36 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 36. Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, a боковые ребра взаимно перпендикулярны?

Подробный ответ

Проведём перпендикуляр $$SO$$ к основанию пирамиды. Тогда точка $$O$$ — центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды:

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Так как боковые рёбра взаимно перпендикулярны, то треугольники $$\triangle ASB$$, $$\triangle BSC$$ и $$\triangle CSA$$ — прямоугольные и равнобедренные. Следовательно,

$$AS=BS=CS=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ASO$$ имеем

$$AO=R=\frac{a\sqrt{3}}{3},$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности около равностороннего треугольника $$ABC$$.

Тогда

$$ SO=\sqrt{AS^2-AO^2} =\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{3}} =\frac{a}{\sqrt{6}}. $$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$ V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO =\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{\sqrt{6}} =\frac{a^3}{12\sqrt{2}}. $$