Упр.36 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания $$a$$, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?
Проведём высоту $$SO$$ пирамиды к основанию. Так как боковые рёбра $$SA,\,SB,\,SC$$ попарно перпендикулярны, то точка $$O$$ — центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности.
Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $$a$$, значит его площадь равна
$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$
В треугольниках $$SAB$$, $$SBC$$ и $$SCA$$ по условию боковые рёбра взаимно перпендикулярны, поэтому эти треугольники прямоугольные и равнобедренные. Следовательно,
$$AS=BS=CS=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$
Для правильного треугольника радиус описанной окружности
$$AO=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$
Теперь из прямоугольного треугольника $$ASO$$ найдём высоту пирамиды:
$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2} =\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{3}} =\sqrt{\frac{a^2}{6}} =\frac{a}{\sqrt{6}}.$$
Тогда объём пирамиды
$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO =\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{\sqrt{6}} =\frac{a^3}{12\sqrt{2}}.$$
Ответ: $$\frac{a^3}{12\sqrt{2}}$$.
