Упр.36 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Радиус шара $$7\text{ см}$$. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной $$2\text{ см}$$. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны (рис. 162).

Пусть $$O$$ — центр шара, а $$O_1$$ и $$B_1$$ — центры данных окружностей. Тогда прямые $$OO_1$$ и $$OB_1$$ перпендикулярны плоскостям окружностей, значит, они взаимно перпендикулярны.

Проведём из точек $$O_1$$ и $$B_1$$ перпендикуляры к общей хорде. Тогда хорда длиной $$2$$ см делится пополам, и получаем

$$AB_1=B_1C=\frac{1}{2}AC=1\text{ см}.$$

Обозначим радиус искомых окружностей через $$R$$, а $$O_1B_1=a$$. В прямоугольном треугольнике $$OO_1B_1$$ имеем

$$OO_1^2=OB_1^2+O_1B_1^2,$$

то есть

$$R^2=a^2+1.$$

Так как окружности равны, то аналогично для второй окружности получаем тот же радиус, а расстояния от центра шара до их центров одинаковы. Следовательно, четырёхугольник $$OO_1B_1B$$ — квадрат, и его диагональ равна

$$OB_1^2=2O_1B_1^2=2a^2.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OO_1A_1$$, где $$OA_1=7$$ см — радиус шара. Тогда

$$OA_1^2=OO_1^2+O_1A_1^2,$$

откуда

$$49=2a^2+1,$$

$$2a^2=48,$$

$$a^2=24.$$

Тогда

$$R^2=a^2+1=24+1=25,$$

$$R=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5$$ см.