Упр.36 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Ребро куба равно $$a$$. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины.

Подробный ответ

Рассмотрим грань куба $$AA_1D_1D$$. Это квадрат со стороной $$a$$, значит его диагональ

$$A_1D=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Теперь найдём пространственную диагональ куба $$B_1D$$. В прямоугольном треугольнике $$B_1AD$$ имеем

$$B_1D=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}.$$

Рассмотрим треугольник $$A_1B_1D$$. Он прямоугольный, так как $$A_1B_1$$ перпендикулярно плоскости грани $$AA_1D_1D$$, а значит $$A_1B_1 \perp A_1D.$$ Проведём высоту $$A_1H$$ к стороне $$B_1D$$. Тогда искомое расстояние от вершины $$A_1$$ до диагонали $$B_1D$$ равно $$A_1H$$.

Площадь треугольника $$A_1B_1D$$ можно выразить двумя способами:

$$S=\frac12 A_1B_1\cdot A_1D=\frac12 A_1H\cdot B_1D.$$

Отсюда

$$A_1H=\frac{A_1B_1\cdot A_1D}{B_1D}=\frac{a\cdot a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac23}.$$

Ответ: $$a\sqrt{\frac23}$$.