Упр.35 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Дан треугольник ABC. Постройте геометрическое место точек, из которых отрезок AB виден под углом, равным углу A этого треугольника.

Пусть $$O$$ — точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $$AB$$ и перпендикуляра, проведённого в точке $$A$$ к прямой $$AC$$.

Тогда $$OA=OB$$, значит, точка $$O$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$. Построим окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$, проходящую через точки $$A$$ и $$B$$.

Так как прямая $$AC$$ касается этой окружности в точке $$A$$, то по теореме о касательной и хорде

$$\angle CAB=\frac{1}{2}\angle AOB.$$

Возьмём произвольную точку $$M$$ на построенной окружности. Тогда угол $$\angle AMB$$ — вписанный, опирающийся на ту же дугу $$AB$$, поэтому

$$\angle AMB=\frac{1}{2}\angle AOB=\angle CAB=\angle A.$$

Следовательно, искомое геометрическое место точек — дуга окружности, проходящая через точки $$A$$ и $$B$$ и лежащая по ту же сторону от прямой $$AB$$, что и точка $$C$$.

Ответ

Искомое геометрическое место точек — дуга окружности, проходящая через точки $$A$$ и $$B$$ и расположенная по ту же сторону от прямой $$AB$$, что и точка $$C$$.