Упр.35 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.

Пусть $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$a$$, вращающийся вокруг стороны $$AB$$. Тогда получается цилиндр с осью $$AB$$, радиусом $$R=BC=a$$ и высотой $$H=AB=a$$.

Найдём площадь полной поверхности этого цилиндра:

$$S_{\text{бок}}=2\pi RH=2\pi\cdot a\cdot a=2\pi a^2,$$
$$S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi a^2.$$

$$S_{\text{цил}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}=2\pi a^2+2\pi a^2=4\pi a^2.$$

Теперь найдём площадь поверхности шара радиуса $$a$$:

$$S_{\text{шара}}=4\pi a^2.$$

Следовательно,

$$S_{\text{цил}}=S_{\text{шара}}.$$

Значит, поверхность тела, образуемого вращением квадрата около его стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата.