Упр.35 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно $$b$$ (рис. 177). Найдите объем пирамиды.

Проведём перпендикуляр $$SO$$ к плоскости основания пирамиды. Так как боковые рёбра равны и взаимно перпендикулярны, то точка $$O$$ — центр окружности, описанной около основания $$ABC$$, а значит $$AO=R$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ASB$$, $$\triangle BSC$$ и $$\triangle CSA$$. Каждый из них прямоугольный и равнобедренный, поэтому

$$AB=BC=CA=\frac{b}{\sin 45^\circ}=b\sqrt{2}.$$

Следовательно, основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$b\sqrt{2}$$. Тогда его площадь равна

$$S_{ABC}=\frac{(b\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{b^2\sqrt{3}}{2}.$$

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника:

$$AO=R=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{b\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{b\sqrt{6}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ASO$$ имеем

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{b^2-\left(\frac{b\sqrt{6}}{3}\right)^2}=\sqrt{b^2-\frac{2b^2}{3}}=\frac{b\sqrt{3}}{3}.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{b\sqrt{3}}{3}=\frac{b^3}{6}.$$

Ответ: $$\frac{b^3}{6}$$.