Упр.35 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 35. Диаметр шара 25 см. Ha его поверхности даны точка A окружность, все точки которой удалены (по прямой) от на 15 см. Найдите радиус этой окружности.

Пусть $$B$$ — произвольная точка данной окружности, $$O$$ — центр шара, $$O_1$$ — центр окружности.

Так как диаметр шара равен $$25$$ см, то его радиус

$$AO=OB=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ см}.$$

По условию все точки окружности удалены от точки $$A$$ на $$15$$ см, значит

$$AB=15\text{ см}.$$

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому его площадь найдём по формуле Герона:

$$ p=\frac{AO+OB+AB}{2}=\frac{12{,}5+12{,}5+15}{2}=20 $$
$$ S_{AOB}=\sqrt{p(p-AO)(p-OB)(p-AB)} =\sqrt{20\cdot(20-12{,}5)\cdot(20-12{,}5)\cdot(20-15)} =75 $$

С другой стороны, $$O_1B$$ — радиус искомой окружности, а $$AO$$ — высота треугольника $$AOB$$, опущенная на основание $$O_1B$$. Тогда

$$ S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot O_1B. $$

Отсюда

$$ O_1B=\frac{2S_{AOB}}{AO}=\frac{2\cdot 75}{15}=10\text{ см}. $$

Ответ

$$10\text{ см}$$