Упр.35 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. № 6.35. Диаметр шара $$25\ \text{см}$$. На его поверхности даны точка $$A$$ и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от $$A$$ на $$15\ \text{см}$$. Найдите радиус этой окружности.

Пусть $$B$$ — любая точка данной окружности, $$O$$ — центр шара, $$O_1$$ — центр окружности. Тогда радиус шара

$$AO=OB=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ см},$$

а по условию

$$AB=15\text{ см}.$$

Так как все точки окружности равноудалены от точки $$A$$, то плоскость этой окружности перпендикулярна прямой $$AO$$, значит $$OO_1\perp OB$$ и $$O_1B$$ — радиус искомой окружности.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Он равнобедренный, так как $$AO=OB$$. Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{AO+OB+AB}{2}=\frac{12{,}5+12{,}5+15}{2}=20$$
$$S_{AOB}=\sqrt{p(p-AO)(p-OB)(p-AB)} =\sqrt{20\cdot(20-12{,}5)\cdot(20-12{,}5)\cdot(20-15)} =75\text{ см}^2$$

С другой стороны,

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot O_1B$$

откуда

$$O_1B=\frac{2S_{AOB}}{AO}=\frac{2\cdot 75}{15}=10\text{ см}.$$

Ответ: $$10\text{ см}$$.