Упр.35 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Точка A отстоит от плоскости на расстояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.

Подробный ответ

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AA’$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$AA’=h$$, а наклонная $$AB$$ вместе с её проекцией $$A’B$$ и перпендикуляром $$AA’$$ образуют прямоугольный треугольник $$AA’B$$, где $$\angle AA’B=90^\circ$$.

Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и её проекцией, то есть $$\angle ABA’$$ равен соответственно $$30^\circ$$, $$45^\circ$$ или $$60^\circ$$.

Используем в прямоугольном треугольнике $$AA’B$$ отношение

$$\sin \angle B=\frac{AA’}{AB}.$$

1) При $$\angle B=30^\circ$$:

$$AB=\frac{AA’}{\sin 30^\circ}=\frac{h}{1/2}=2h.$$

2) При $$\angle B=45^\circ$$:

$$AB=\frac{AA’}{\sin 45^\circ}=\frac{h}{\sqrt{2}/2}=h\sqrt{2}.$$

3) При $$\angle B=60^\circ$$:

$$AB=\frac{AA’}{\sin 60^\circ}=\frac{h}{\sqrt{3}/2}=\frac{2h}{\sqrt{3}}.$$