Упр.35 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка $$A$$ отстоит от плоскости на расстояние $$h$$. Найдите длины наклонных, проведённых из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) $$30^\circ$$; 2) $$45^\circ$$; 3) $$60^\circ$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AA’$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$AA’=h$$, а для любой наклонной $$AB$$ треугольник $$AA’B$$ прямоугольный, причём угол между наклонной и плоскостью равен $$\angle ABA’$$.

Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике:

$$\sin \angle ABA’=\frac{AA’}{AB}$$

Отсюда

$$AB=\frac{AA’}{\sin \angle ABA’}=\frac{h}{\sin \varphi},$$

где $$\varphi$$ — угол наклонной с плоскостью.

Тогда:

$$AB_{30^\circ}=\frac{h}{\sin 30^\circ}=\frac{h}{\frac12}=2h,$$

$$AB_{45^\circ}=\frac{h}{\sin 45^\circ}=\frac{h}{\frac{\sqrt2}{2}}=h\sqrt2,$$

$$AB_{60^\circ}=\frac{h}{\sin 60^\circ}=\frac{h}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{2h}{\sqrt3}.$$

Ответ: $$2h;\ h\sqrt2;\ \frac{2h}{\sqrt3}.$$