Упр.35 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.

Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда, так как $$ABCD$$ — параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$BO=OD.$$

По условию плоскость $$\alpha$$ проведена через диагональ $$AC$$, следовательно, точка $$O$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, так как $$O \in AC$$. При этом диагональ $$BD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$O$$.

Итак, плоскость $$\alpha$$ проходит через середину отрезка $$BD$$. Тогда концы отрезка $$BD$$ находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.

Ответ: концы диагонали $$BD$$ равноудалены от плоскости $$\alpha$$.