Упр.35 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

35. Даны три параллельные плоскости $$\alpha_1$$, $$\alpha_2$$, $$\alpha_3$$. Пусть $$X_1$$, $$X_2$$, $$X_3$$ — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков $$X_1X_2:X_2X_3$$ не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых.

Проведём ещё одну прямую, пересекающую данные плоскости в точках $$Y_1,\;Y_2,\;Y_3$$ и пересекающую прямую $$X_1X_3$$ в точке $$A$$.

Рассмотрим плоскость $$AY_3X_3$$. Так как плоскости $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$ параллельны, то их пересечения с этой плоскостью — параллельные прямые $$Y_1X_1,\;Y_2X_2,\;Y_3X_3$$.

Тогда треугольники $$\triangle AY_1X_1$$, $$\triangle AY_2X_2$$ и $$\triangle AY_3X_3$$ подобны по двум углам. Отсюда

$$\frac{AX_1}{AY_1}=\frac{AX_2}{AY_2}=\frac{AX_3}{AY_3}=k.$$

Следовательно,

$$\frac{X_1X_2}{X_2X_3}=\frac{AX_1-AX_2}{AX_2-AX_3} =\frac{k(AY_1-AY_2)}{k(AY_2-AY_3)} =\frac{Y_1Y_2}{Y_2Y_3}.$$

Правая часть не зависит от выбора прямой, значит и отношение $$X_1X_2:X_2X_3$$ постоянно для любых прямых, пересекающих три параллельные плоскости.