Упр.34 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Угол между касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен 50°. Найдите градусные меры дуг этой окружности, заключенных между точками касания.

Пусть $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности, проведённые из точки $$A$$, а точки касания — $$B$$ и $$C$$. Тогда $$\angle BAC=50^\circ$$.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, значит

$$\angle OBA=90^\circ,\qquad \angle OCA=90^\circ.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$ABOC$$. Сумма его углов равна $$360^\circ$$, поэтому

$$ \angle BOC=360^\circ-\angle BAC-\angle OBA-\angle OCA $$
$$ \angle BOC=360^\circ-50^\circ-90^\circ-90^\circ=130^\circ. $$

Меньшая дуга $$BC$$ равна центральному углу $$\angle BOC$$, то есть

$$\overset{\frown}{BC}=130^\circ.$$

Большая дуга равна

$$ 360^\circ-130^\circ=230^\circ. $$

Ответ

$$130^\circ$$ и $$230^\circ$$.