Упр.34 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 8-34. Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна $$c$$, а катеты — $$a$$ и $$b$$. Тогда по теореме Пифагора

$$c^2=a^2+b^2.$$

Площадь поверхности шара с диаметром $$d$$ равна

$$S=4\pi R^2=4\pi\left(\frac d2\right)^2=\pi d^2.$$

Значит, поверхности трёх шаров равны

$$S_c=\pi c^2,\qquad S_a=\pi a^2,\qquad S_b=\pi b^2.$$

Тогда

$$S_c=\pi c^2=\pi(a^2+b^2)=\pi a^2+\pi b^2=S_a+S_b.$$

Следовательно, поверхность шара, диаметр которого равен гипотенузе, равна сумме поверхностей двух других шаров.

Ответ: $$S_{\text{гип}}=S_{1}+S_{2}$$, то есть большая поверхность равна сумме двух других.