Упр.34 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна $$c$$, а катеты — $$a$$ и $$b$$. Тогда по теореме Пифагора

$$c^2=a^2+b^2.$$

Диаметры шаров равны соответственно $$c$$, $$a$$ и $$b$$. Площадь поверхности шара выражается формулой

$$S=4\pi R^2=4\pi\left(\frac d2\right)^2=\pi d^2,$$

где $$d$$ — диаметр шара.

Следовательно, площади поверхностей этих шаров равны

$$S_c=\pi c^2,\quad S_a=\pi a^2,\quad S_b=\pi b^2.$$

Подставим соотношение $$c^2=a^2+b^2$$:

$$S_c=\pi c^2=\pi(a^2+b^2)=\pi a^2+\pi b^2=S_a+S_b.$$

Значит, площадь поверхности шара, диаметр которого равен гипотенузе, равна сумме площадей поверхностей двух других шаров.

Ответ

$$S_c=S_a+S_b.$$