Упр.34 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 7-34. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды $$a$$, а двугранный угол при основании равен $$45^\circ$$. Найдите объем пирамиды.

Проведём высоту $$SO$$ пирамиды к основанию. Тогда точка $$O$$ — центр правильного шестиугольника, а $$OE$$, перпендикулярное стороне $$AB$$, является радиусом вписанной в основание окружности.

Линейный угол двугранного угла при основании равен $$45^\circ$$, значит в сечении $$SEO$$ имеем $$\angle SEO=45^\circ$$. Так как $$SO\perp$$(основанию), то $$SO\perp OE$$, следовательно, треугольник $$SEO$$ прямоугольный.

Для правильного шестиугольника со стороной $$a$$ радиус вписанной окружности равен

$$OE=r=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SEO$$:

$$\tan 45^\circ=\frac{SO}{OE},$$

откуда

$$SO=OE=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды:

$$S=6\cdot S_{ABO}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}a^3.$$

Ответ: $$\frac{3}{4}a^3$$.