Упр.34 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними $$6\ \text{см}$$, $$8\ \text{см}$$, $$10\ \text{см}$$. Радиус шара $$13\ \text{см}$$. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки.

Пусть данные точки обозначены через $$A$$, $$B$$ и $$C$$, тогда $$AB=6$$ см, $$BC=8$$ см, $$CA=10$$ см.

Точка $$O_1$$ — центр окружности, описанной около $$\triangle ABC$$. Она же является основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара $$O$$ на плоскость $$ABC$$, то есть $$OO_1 \perp ABC$$.

Проверим вид треугольника $$ABC$$:

$$AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2=CA^2.$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ прямоугольный, причём гипотенуза — $$CA$$. Тогда центр описанной окружности $$O_1$$ лежит в середине гипотенузы, значит

$$AO_1=\frac{CA}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем $$OA=R=13$$ см. Тогда

$$OO_1=\sqrt{OA^2-AO_1^2} =\sqrt{13^2-5^2} =\sqrt{169-25} =\sqrt{144} =12\text{ см}.$$

Ответ: $$12$$ см.