Упр.34 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.
- Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под равными углами.
1) Пусть прямая $$a$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$. Проведём в плоскости $$\alpha$$ прямую $$b$$, пересекающую $$a$$. Через прямые $$a$$ и $$b$$ проведём плоскость; она пересечёт плоскость $$\beta$$ по прямой $$c$$, причём $$c \parallel b$$, так как $$\alpha \parallel \beta$$.
Тогда прямая $$a$$ пересекает параллельные прямые $$b$$ и $$c$$, следовательно, углы между $$a$$ и $$b$$, а также между $$a$$ и $$c$$ равны как соответственные. Но $$b \subset \alpha$$, $$c \subset \beta$$, значит, это и есть углы между прямой $$a$$ и плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$. Следовательно, эти углы равны.
2) Пусть параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ пересекают плоскость $$\alpha$$. Проведём в плоскости $$\alpha$$ прямую $$c$$, пересекающую прямые $$a$$ и $$b$$. Тогда $$c$$ пересекает параллельные прямые $$a$$ и $$b$$, поэтому углы между $$c$$ и $$a$$, а также между $$c$$ и $$b$$ равны как соответственные.
Так как $$c \subset \alpha$$, то эти углы являются углами между прямыми $$a$$ и $$\alpha$$, а также $$b$$ и $$\alpha$$. Значит, плоскость $$\alpha$$ пересекает параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ под равными углами.
