Упр.34 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.

Подробный ответ

Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — перпендикуляры, опущенные из точек $$A$$ и $$B$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$AA_1$$ и $$BB_1$$ параллельны, так как обе перпендикулярны одной и той же плоскости.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $$AB$$ и перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$. В этой плоскости лежат треугольники $$\triangle AOA_1$$ и $$\triangle BOB_1$$.

Так как $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$AO=OB$$. Кроме того, $$\angle AOA_1=\angle BOB_1$$ как вертикальные углы. Также $$\angle AA_1O=\angle BB_1O=90^\circ$$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$\triangle AOA_1$$ и $$\triangle BOB_1$$ равны по гипотенузе и острому углу. Значит,

$$AA_1=BB_1.$$

Но $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — это расстояния от точек $$A$$ и $$B$$ до плоскости $$\alpha$$. Следовательно, концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.