Упр.34 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$A$$ лежит вне плоскости $$\alpha$$, $$X$$ — произвольная точка плоскости $$\alpha$$, $$X’$$ — точка отрезка $$AX$$, делящая его в отношении $$m:n$$. Докажите, что геометрическое место точек $$X’$$ есть плоскость, параллельная плоскости $$\alpha$$.

Возьмём на плоскости $$\alpha$$ две произвольные точки $$X_1$$ и $$X_2$$ и обозначим через $$X_1’$$ и $$X_2’$$ точки отрезков $$AX_1$$ и $$AX_2$$, делящие их в отношении $$m:n$$.

Тогда

$$\frac{AX_1′}{AX_1}=\frac{AX_2′}{AX_2}=\frac{m}{n}.$$

Следовательно, в треугольниках $$AXX_1$$ и $$AXX_1’$$ соответствующие стороны пропорциональны, а угол при вершине $$A$$ общий, значит эти треугольники подобны. Отсюда

$$\angle AX_1’X_1=\angle AXX_1,$$

поэтому $$X_1’X_1 \parallel XX_1$$. Аналогично получаем

$$X_2’X_2 \parallel XX_2.$$

Прямые $$X_1X_2$$ и $$X_1’X_2’$$ пересекаются, а также соответственно параллельны прямым $$XX_1$$ и $$XX_2$$, лежащим в плоскости $$\alpha$$. Значит, по теореме о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым данной плоскости, все точки $$X’$$ лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $$\alpha$$.

Ответ: геометрическое место точек $$X’$$ — плоскость, параллельная плоскости $$\alpha$$.