Упр.33 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Поверхности двух шаров относятся как $$m:n$$. Как относятся их объёмы?

Пусть $$R_1$$ и $$R_2$$ — радиусы шаров. Тогда площади их поверхностей равны

$$S_1=4\pi R_1^2,\qquad S_2=4\pi R_2^2.$$

По условию

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{m}{n}.$$

Следовательно,

$$\frac{R_1^2}{R_2^2}=\frac{m}{n},\qquad \frac{R_1}{R_2}=\sqrt{\frac{m}{n}}.$$

Объёмы шаров:

$$V_1=\frac{4}{3}\pi R_1^3,\qquad V_2=\frac{4}{3}\pi R_2^3.$$

Тогда

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{R_1^3}{R_2^3}=\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3=\left(\sqrt{\frac{m}{n}}\right)^3=\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}.$$

Значит, отношение объёмов шаров равно

$$\sqrt{m^3}:\sqrt{n^3}$$.