Упр.33 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 33. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда.

Подробный ответ

Обозначим диагонали основания параллелепипеда через $$AC$$ и $$BD$$. Так как основание $$ABCD$$ — параллелограмм, то для его диагоналей верно:

$$2AB^2+2AD^2=AC^2+BD^2.$$

Подставим данные:

$$BD=\sqrt{2AB^2+2AD^2-AC^2}=\sqrt{2\cdot 6^2+2\cdot 8^2-12^2}=\sqrt{56}\text{ м}.$$

Теперь найдём пространственные диагонали параллелепипеда. Одна из них, например $$AC_1$$, лежит в прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$:

$$AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\text{ м}.$$

Другая диагональ, например $$B_1D$$, лежит в прямоугольном треугольнике $$BB_1D$$:

$$B_1D=\sqrt{BD^2+BB_1^2}=\sqrt{56+5^2}=\sqrt{81}=9\text{ м}.$$

Следовательно, диагонали параллелепипеда равны $$13\text{ м}$$ и $$9\text{ м}$$.