Упр.33 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4-33. Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Пусть $$AB\perp \alpha$$, $$AC$$ — наклонная к плоскости $$\alpha$$, а $$BC$$ — её проекция на эту плоскость. Пусть прямая $$c$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и $$c\perp BC$$.

Проведём через точку $$C$$ прямую $$c_1$$, параллельную прямой $$c$$. Тогда $$c_1\perp BC$$.

По теореме о трёх перпендикулярах из $$c_1\perp BC$$ следует, что $$c_1\perp AC$$. Но $$c_1\parallel c$$, значит, и $$c\perp AC$$.

Обратно: если $$c\perp AC$$, то любая прямая $$c_1$$, проведённая через $$C$$ параллельно $$c$$, также перпендикулярна $$AC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$c_1\perp BC$$, а значит, и $$c\perp BC$$.

Следовательно, прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной, и обратно.