Упр.33 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две параллельные плоскости $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$ и точка $$A$$, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку $$A$$ проведена произвольная прямая. Пусть $$X_1$$ и $$X_2$$ — точки пересечения этой прямой с плоскостями $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$. Докажите, что отношение длин отрезков $$AX_1:AX_2$$ не зависит от взятой прямой.
Проведём через точку $$A$$ ещё одну прямую, пересекающую плоскости $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$ в точках $$Y_1$$ и $$Y_2$$.
Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые $$AX_2$$ и $$AY_2$$. Так как $$\alpha_1 \parallel \alpha_2$$, то линии пересечения этой плоскости с данными плоскостями параллельны, значит
$$Y_1X_1 \parallel Y_2X_2.$$
Тогда треугольники $$\triangle AY_1X_1$$ и $$\triangle AY_2X_2$$ подобны по двум углам:
$$\angle AY_1X_1=\angle AY_2X_2,\qquad \angle AY_1X_1=\angle AY_2X_2.$$
Из подобия получаем
$$\frac{AX_1}{AX_2}=\frac{AY_1}{AY_2}.$$
Правая часть не зависит от выбора прямой $$X_1X_2$$, проведённой через точку $$A$$. Следовательно, отношение $$AX_1:AX_2$$ постоянно.
Ответ: $$AX_1:AX_2$$ не зависит от выбора прямой, проведённой через точку $$A$$.
