Упр.32 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Круговой сектор с углом $$30^\circ$$ и радиусом $$R$$ вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объём полученного тела.

Пусть $$BOA$$ — данный сектор, тогда $$OA=OB=R$$ и $$\angle BOA=30^\circ$$.

При вращении сектора вокруг радиуса $$OB$$ получается шаровой сектор. Найдём его высоту.

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем

$$OO_1=OA\cdot \cos 30^\circ=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда высота шарового сектора равна

$$H=BO_1=BO-OO_1=R-\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{R(2-\sqrt{3})}{2}.$$

Объём шарового сектора вычисляется по формуле

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2H.$$

Подставим найденное значение $$H$$:

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2\cdot \frac{R(2-\sqrt{3})}{2} =\frac{1}{3}\pi R^3(2-\sqrt{3}).$$

Ответ: $$\frac{1}{3}\pi R^3(2-\sqrt{3})$$.