Упр.32 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела.

Подробный ответ

Пусть $$BOA$$ — данный круговой сектор, тогда $$OA=OB=R$$ и $$\angle BOA=30^\circ$$.

При вращении сектора вокруг радиуса $$OB$$ получается шаровой сектор. Найдём его высоту.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр на ось вращения $$OB$$ и обозначим основание через $$O_1$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$

$$OO_1=OA\cdot \cos 30^\circ=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Так как $$BO_1$$ — высота шарового сектора, то

$$H=BO_1=BO-OO_1=R-\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{R(2-\sqrt{3})}{2}.$$

Объём шарового сектора равен

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2H.$$

Подставим найденное значение $$H$$:

$$ V=\frac{2}{3}\pi R^2\cdot \frac{R(2-\sqrt{3})}{2} =\frac{1}{3}\pi R^3(2-\sqrt{3}). $$