Упр.32 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Чему равен объём прямой четырёхугольной призмы, если её высота $$h$$, диагонали наклонены к плоскости основания под углами $$\alpha$$ и $$\beta$$, и острый угол между диагоналями основания равен $$\gamma$$?
Рассмотрим диагонали основания прямой призмы. Пусть $$AC$$ и $$BD$$ — диагонали основания, а их острый угол равен $$\gamma$$.
В прямоугольных треугольниках $$ACC_1$$ и $$BDD_1$$ имеем:
$$\tan \alpha=\frac{CC_1}{AC}=\frac{h}{AC}, \qquad \tan \beta=\frac{DD_1}{BD}=\frac{h}{BD}.$$
Отсюда
$$AC=\frac{h}{\tan \alpha}, \qquad BD=\frac{h}{\tan \beta}.$$
Площадь основания — параллелограмма с диагоналями $$AC$$ и $$BD$$:
$$S=\frac{1}{2}\,AC\cdot BD\cdot \sin \gamma.$$
Подставим найденные выражения:
$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{h}{\tan \alpha}\cdot \frac{h}{\tan \beta}\cdot \sin \gamma =\frac{h^2\sin \gamma}{2\tan \alpha \tan \beta}.$$
Тогда объём призмы равен
$$V=S\cdot h=\frac{h^3\sin \gamma}{2\tan \alpha \tan \beta}.$$
Ответ: $$\frac{h^3\sin \gamma}{2\tan \alpha \tan \beta}$$.
