Упр.32 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Чему равен объем прямой четырехугольнои призмы, если ее высота h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами а и B и острый угол между диагоналями основания равен у?

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ACC_1$$ и $$BDD_1$$. Так как призма прямая, то $$CC_1=DD_1=h$$.

Из треугольника $$ACC_1$$ получаем:

$$\tg \alpha=\frac{CC_1}{AC}=\frac{h}{AC}, \qquad AC=\frac{h}{\tg \alpha}.$$

Из треугольника $$BDD_1$$ получаем:

$$\tg \beta=\frac{DD_1}{BD}=\frac{h}{BD}, \qquad BD=\frac{h}{\tg \beta}.$$

Площадь основания — параллелограмма с диагоналями $$AC$$ и $$BD$$ и острым углом между ними $$\gamma$$:

$$S_{осн}=\frac{1}{2}\,AC\cdot BD\cdot \sin \gamma.$$

Подставим найденные выражения:

$$ S_{осн}=\frac{1}{2}\cdot \frac{h}{\tg \alpha}\cdot \frac{h}{\tg \beta}\cdot \sin \gamma =\frac{h^2\sin \gamma}{2\,\tg \alpha \cdot \tg \beta}. $$

Тогда объём призмы равен:

$$ V=S_{осн}\cdot h =\frac{h^2\sin \gamma}{2\,\tg \alpha \cdot \tg \beta}\cdot h =\frac{h^3\sin \gamma}{2\,\tg \alpha \cdot \tg \beta}. $$